\( \cos 40° \approx 0.7660 \)
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使用余弦定理：\( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \)
步骤如下：
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将已知值代入公式：
\( 5^2 = 7^2 + c^2 - 2 \cdot 7 \cdot c \cdot \cos 40° \) -
简化等式：
\( 25 = 49 + c^2 - 14c \cos 40° \) -
计算 \( \cos 40°\)：
\( \cos 40° \approx 0.7660\) (使用计算器或查表) -
代入 \( \cos 40°\) 的值：
\( 25 = 49 + c^2 - 14c \cdot 0.7660\)
\( 25 = 49 + c^2 - 10.724c\) -
重新排列等式：
\( c^2 - 10.724c - 24 = 0\) -
这是一个二次方程。我们可以使用二次方程求根公式来解决：
\( c = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)其中，\( a = 1\), \( b = -10.724\), \( c = -24 \)
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代入求根公式：
\( c = \frac{10.724 \pm \sqrt{(-10.724)^2 - 4(1)(-24)}}{2(1)}\)\( c = \frac{10.724 \pm \sqrt{115.005 + 96}}{2}\)
\( c = \frac{10.724 \pm \sqrt{211.005}}{2}\)
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计算：
\( c = \frac{10.724 + 14.526}{2}\) 或 \( c = \frac{10.724 - 14.526}{2}\)\( c \approx 12.625\) 或 \(c \approx -1.901\)
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由于边长不能为负数，我们取正值：
\( c \approx 12.625\)
因此，边 c 的长度约为 12.625 单位。
这个解法正确地应用了余弦定理，并展示了如何在已知两边和其中一个对应角度的情况下求解三角形的第三边。这个结果比之前的计算要大，这是因为我们现在正确地使用了公式。
一些重要观察：
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这个问题强调了使用正确公式的重要性。不同的已知条件需要使用余弦定理的不同形式。
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解决这类问题时，我们需要运用代数技能，特别是解二次方程的能力。
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结果的合理性：得到的结果（c ≈ 12.625）大于已知的两边（5 和 7），这仍然符合三角形的性质（最长边小于其他两边之和）。
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这个例子也展示了三角学问题如何自然地引入代数和几何的结合。
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在实际应用中，这种计算对于测量、导航和工程设计等领域非常重要。